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太原家教:高一数学习题


来源:太原家教老师 日期:2018/4/14

一、选择题(每小题5分,共30分)

1.化简a+的结果是(  )

A.1          B.2a-1

C.1或2a-1  D.0

答案:C

a+=a+|1-a|=1或2a-1.

2.给出下列等式:①=a3,②=a2,③a=,④aa,⑤logab2=2logab,⑥lg a·lg b=lg (ab),其中一定成立的个数是(  )

A.1  B.2

C.3  D.4

答案:B

解析:①中,==|a3|,不一定等于a3;②中,==a2,成立;③中,a=,不一定等于;④中,a===a,成立;⑤中,当b<0时,logab无意义,故⑤中等式不一定成立;⑥中,若ab=10,则lg a·lg b=lg 10·lg 10=1,lg (ab)=lg 20=1+lg 2,lg a·lg b≠lg (ab),故⑥中等式不一定成立.故选B.

3.已知loga<logb,则下列不等式中一定成立的是(  )

A.a<b     B.>

C.ln (ab)>0  D.3ab<1

答案:A

解析:由loga<logb,得a>b>0,所以a<b<b.选A.

4.已知f(x)=在R上是减函数,则实数a的取值范围是(  )

A.(0,1)  B.

C.  D.(1,+∞)

答案:B

解析:由已知,得⇒⇒≤a<1,所以实数a的取值范围是.

5.若f(x)是偶函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)=lg (2x-1),则f(x-1)<0的解集是(  )

A.(0,1)∪(1,2)  B.(-∞,0)∪(1,2)

C.(1,2)        D.(-1,0)

答案:A

解析:由题意,知f(x)=,∴当x-1>0,即x>1时,由f(x-1)=lg (2x1-1)<0,得2x1-1<1,2x1<2,x-1<1,即x<2,又x>1,∴1<x<2;当x-1<0,即x<1时,由f(x-1)=lg (2x1-1)<0,得21x-1<1,21x<2,1-x<1,即x>0,又x<1,∴0<x<1.综上,得f(x-1)<0的解集是(0,1)∪(1,2),选A.

6.函数y=在(-e,0)∪(0,e)上的大致图象是(  )

答案:D

解析:函数为奇函数,排除A,B,当x>1时,y>0,排除C,故选D.

二、填空题(每小题5分,共15分)

7.若偶函数f(x)=x的定义域为[3aa2+2],则实数a的值为________.

答案:-1

解析:∵f(x)是偶函数,∴a2+2=-3a,即a2+3a+2=0,解得a=-1或a=-2.当a=-1时,f(x)=x=,∴f(-x)===f(x),此时f(x)是偶函数;当a=-2时,f(x)=x,∴f(-x)=-x=-f(x),此时f(x)是奇函数.故a=-1.

8.已知定义域为R的偶函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,且f=0,则不等式f(log4x)>0的解集是________.

答案:{x|x>2或0<x<}

解析:∵f(x)是偶函数,∴f(x)在(-∞,0)上是减函数.∴f(log4x)>0可转化为log4x>或log4x<-.∴x>2或0<x<.

9.已知函数f(x)=,则使f(x)=的x的集合是________.

答案:

解析:当x≤0时,由2x=,得x=-1.当x>0时,由|log2x|=,得log2x=或log2x=-.由log2x=,得x=,由log2x=-,得x=2-==.故应填.

三、解答题(本大题共4小题,共45分)

10.(12分)函数f(x)=lg 的定义域为集合A,关于x的不等式22x<2ax(aR)的解集为集合B,求使ABA成立的实数a的取值范围.

解:由>0,得或,

解得1<x<2,即A={x|1<x<2}.

y=2xR上的增函数,22x<2ax

x<a

B={x|x<a}.

ABA,∴AB,∴2≤a

a的取值范围是[2,+∞).

11.(13分)已知函数f(x)=b·ax(ab为常数且a>0,a≠1,b≠0)的图象经过点A(1,8),B(3,32).

(1)试求ab的值;

(2)若不等式xxm≥0在x∈(-∞,1]时恒成立,求实数m的取值范围.

解:(1)∵函数f(x)=b·ax的图象经过点A(1,8),B(3,32),

∴,又a>0,∴a=2,b=4.

(2)由题意,知mxxx∈(-∞,1]时恒成立.

g(x)=xxx∈(-∞,1],

mg(x)min.

g(x)在(-∞,1]上是减函数,

g(x)ming(1)=+=,

m≤.

故实数m的取值范围为.

能力提升

12.(5分)若x1满足2x+2x=5,x2满足2x+2log2(x-1)=5,则x1x2=(  )

A.  B.3

C.  D.4

答案:C

解析:由2x+2x=5得2x=5-2x,作出草图,如图所示.

数形结合可知1<x1<;由2x+2log2(x-1)=5得log2(x-1)=-x,同理可知2<x2<.

所以3<x1x2<4,结合选项可知选C.

13.(15分)设f(x)=lg,其中aR,如果当x∈(-∞,1]时,f(x)有意义,求a的取值范围.

解:解法1:令2xtt∈(0,2],

则问题转化为at2t+1>0,在t∈(0,2]上恒成立.

g(t)=at2t+1,

则当a=0时,g(t)=t+1在(0,2]上恒有g(t)>0;

a>0时,g(t)的对称轴t=-<0,

且其图象恒过(0,1)点,所以在(0,2]上g(t)>0;

a<0时,g(t)的对称轴t=->0,只需g(2)>0即可,即4a+3>0,解得-<a<0.

综上所述,a的取值范围是a>-.

解法2:分离参数法:设=t,则t∈,

则1+2x+4xa>0在x∈(-∞,1]上恒成立可转化为a>-t2tt∈上恒成立,

a就大于φ(t)=-t2t=-2+的最大值.

由二次函数知识知φ(t)maxφ=-1+=-.所以a>-.

 
 
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